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透视畸变与非线性拉伸可通过正射欧式空间有效表达，以此为出发点，本文提出光平面标定方法：（1）利用单应性矩阵将标定板特征映射至正射欧式空间，消除透视畸变引起的特征点位移；（2）利用单应性约束将激光条纹特征变换至正射欧式空间，抑制非线性拉伸并进行直线拟合；（3）利用角点之间的角度和长度建立余弦定理约束解算交点三维坐标。对比实验结果表明，本文方法平面拟合均方根残差仅为 ；测量精度平均绝对误差为 ，均方根误差小于 。在三维重建验证中，平面重建的均方根误差仅为 ，复杂实体形貌还原度高。该方法通过正射欧式空间变换，有效抑制标定过程中的误差累积，提高系统的测量精度。
1 引言
光平面标定的本质是确定光平面与摄像机坐标系间的刚体变换关系。理想的标定模型通常假设成像过程满足小孔成像模型与线性投影约束，然而，在实际标定场景中，受非理想成像条件的制约，标定精度往往难以保证。一方面，倾斜视角透视投影与镜头畸变导致图像特征发生非线性形变；另一方面，环境光照干扰与传感器随机噪声降低了图像信噪比，使得标定板角点与激光条纹中心的提取产生位置漂移。这种原始误差会在后续的标定链路中逐过程累积，使最终标定结果难以逼近真实值。
目前，光平面标定方法大致可归纳为三类：基于高精度物理约束的方法、基于运动扩展的几何冗余增强方法，以及基于几何建模与求解优化的方法。
第一类方法通过引入高精度三维物理靶标增强空间几何约束。文献2引入高精度球型靶标，利用球体各向同性来保障光平面参数的稳定求解；文献3设计了一种台阶型的三维靶标，结合台阶的深度变化来建立约束提高光平面标定精度；文献4则采用了一种结合锥体与平面的异型靶标，结合立体结构和深度信息建立的空间几何约束光平面参数；文献5引入高精度量块来辅助光平面的标定，在平面靶标上构建等效三维约束来优化光平面参数。该类方法通过增强物理结构精度或引入显式三维几何约束，在一定程度上缓解了标定不稳定问题。然而，这类方法普遍依赖高精度加工的专用靶标或严格受控的实验环境，标定过程灵活性较差，难以满足工程现场对低成本、易部署和高适应性的需求。
第二类方法通过引入可控运动扩展几何信息维度。文献6利用平移台在不同位置采集光条图像与正弦条纹图像，并通过单应矩阵建立光平面与图像平面之间的映射关系，在不单独进行相机标定和光平面标定的情况下实现三维数据恢复，简化了线结构光系统的标定流程；文献7利用一维高精度位移装置驱动二维靶标运动，将原本的二维特征点扩展为抗噪性更强的三维特征点，从而增强抗噪性并提高光平面参数估计精度。此类方法通过引入额外的运动约束，有效提升了几何信息的冗余度。但系统依赖高精度一维精密位移装置，系统结构复杂，标定过程耗时，适用场景相对受限。
第三类方法侧重于几何建模与求解框架优化，以降低对复杂硬件的依赖。文献8针对单向多线结构光系统中投影器镜头畸变导致弯曲光平面难以精确标定的问题，通过建立三维坐标与相机亚像素坐标之间的多项式模型来避免投影器畸变影响，实现了灵活快速的多线结构光标定；文献9则基于平面法向量约束，分步推导激光线的空间表达式，获取大量的特征点用于拟合平面；文献10-12利用交比不变性原理，在射影几何框架下求解光平面参数，降低了对相机内参的依赖；文献13和14直接建立从图像平面到光平面的映射模型，避免了过多的坐标变换；文献15通过分段三次插值建立条纹像素坐标与世界坐标之间的数值映射，并利用交比不变性构建参考间距数据集对激光平面参数进行优化；文献19基于二维圆形标靶求取光条中心线与靶标连线交点，再采用最小二乘拟合光平面，兼顾了标定流程的简便性与工程适用性；文献17面向三线结构光传感器标定，利用Steger算法和RANSAC算法提取并拟合光条中心线，将光条与标定板列角点拟合直线的交点作为标定点，并结合PnP求解、空间向量转换和最小二乘向量寻优提高光平面参数拟合精度。该类方法在几何建模层面取得了显著进展，有效减少了对复杂标靶和精密装置的依赖。
然而，这些方法普遍假设前端特征提取具有较高精度，而在实际成像过程中，透视畸变和噪声会显著影响角点和激光条纹的定位精度，导致误差在后续复杂计算中被放大甚至累积。基于此，部分研究转向对特征提取稳定性进行改进。文献18和19将激光条纹投射至标定板空白区域或棋盘格外部，以提升光条提取稳定性；文献20和21分别利用光平面与标定板的交线以及双激光线交点等高层几何特征代替离散激光点；文献22进一步引入角点线与激光线之间的投影关系增强几何约束；文献23利用单应性矩阵恢复大量特征点三维坐标，并结合统计方法剔除离群点；采用分段多次插值策略减小透视畸变带来的非线性影响；文献24构建曲面网格模型并结合水平、竖直射线追踪实现光条中心点三维重建，从另一角度提高了畸变条件下的标定鲁棒性。尽管上述方法从不同角度缓解了噪声和局部误差的影响，但它们多集中于标定流程的某一局部环节，或依赖事后修正策略，未能从整体流程上抑制透视畸变对特征提取与误差传播的系统性影响。总之，尽管现有方法在物理约束和算法优化上取得了显著进展，但透视畸变仍然会对前端特征提取产生影响。
故本文提出一种基于正射欧式空间的光平面标定方法，以解决透视畸变导致特征提取精度下降及误差在光平面标定过程中逐级累积的问题。具体而言，在相机与光平面标定阶段引入单应性约束，将角点与激光条纹映射至正射欧式空间进行特征增强，并在几何对齐的特征框架下基于角度与长度关系完成交点三维坐标解算完成光平面标定工作。
2 基于正射欧式空间的光平面标定
2.1 单应性映射构建
本文将单应性作为全流程几何一致性约束，用于角点增强、激光条纹重构和三维计算基准统一。在一般标定方法中，角点与激光条纹中心的提取直接在像平面进行。然而在小孔成像模型下，三维平面到二维图像的成像过程本质上属于透视投影。其投影过程如图1所示，透视投影会导致平面内不同区域呈现非线性尺度变化，导致特征中心发生偏移，从而降低特征点提取精度。针对上述问题，本文利用单应变换对图像进行校正，将特征重构至欧氏正射空间进行处理。
标定板为平面结构，且其在相机成像过程中与图像平面之间为透视投影可由单应性矩阵进行统一描述。因此，本文引入单应性变换，通过构建图像像素空间与标定板物理正射空间的映射关系，实现特征的几何增强。图2所示是由倾斜视图 中的像点 使用单应矩阵 转到正射视图 中的同名像点 的示意图： 、 都对应世界坐标系中的三维点 。
设去畸变后的图像像素点为 ，其对应的理想正射空间坐标为 。根据透视投影原理，两平面间的点对点映射关系可以表述为：
其中， 为非零尺度因子， 为一个 的非奇异矩阵。为了求解该矩阵，引入标定板的世界物理坐标 。在理想的正射视角 下，图像坐标与物理坐标 满足线性比例缩放关系。因此，通过提取图像 中的特征点像素集 ，并结合其已知的物理坐标集 ，利用直接线性变换(DLT)算法即可精确计算出单应矩阵 。
获取 后通过其逆矩阵 可将倾斜视角 下受透镜畸变影响的特征点集重构至正射视角 ：
2.2 基于单应性约束的二次相机标定
在进行光平面标定之前，需要事先标定单目相机的内外参数和畸变参数。一般相机标定流程中，通常直接在原始图像中提取标定板角点，并基于该角点坐标完成相机标定。然而，透视畸变会破坏角点之间的理想几何关系，导致角点定位精度下降。相机内参数标定精度同样受到角点亚像素定位质量的影响，文献25通过亚像素迭代角点优化为张氏标定法提供更精确的初值，表明前端角点精细化处理能够有效降低重投影误差。为进一步提升角点提取精度，本文采用一种基于正射欧式空间的二次标定方法。首先，利用原始角点提取结果完成初次相机标定；随后，利用初次标定结果对图像进行去畸变处理，并将图像映射至正射空间；最后在正射空间中重新提取角点坐标反投影回去畸变图像平面，用于二次精细化标定。
经正射空间重构后，角点列在几何结构上恢复了其在物理空间中的规则排列特性，从而获得更为精细和一致的位置信息，为后续角点直线的精确拟合以及三维坐标计算提供了统一且稳定的几何一致性基础。
初次标定的相机成像模型如图3所示，一般使用小孔成像模型表示，由此模型可以得到一个三维点 与其图像对应点 之间的转换关系。在图3中， 为相机坐标系、 为像平面坐标系、 是像素坐标系、 为世界坐标系，点 是图像的像主点由于存在投影畸变导致像主点一般不会与像素坐标系中心点 重合。
小孔成像模型描述世界坐标系点到图像像素点的转换过程，其中 、 、 三个坐标系之间的转换关系核心公式表示为：
为非零尺度因子， 是空间点在像平面的像素坐标， 是空间点世界坐标， 是相机内参矩阵。 和 分别为描述刚体变换的旋转矩阵和平移向量。使用张正友方法进行相机标定，解算公式中的未知参数以及建立相机的畸变模型 ，设 为理想归一化坐标， 为畸变后的坐标，令 ，则其径向和切向畸变如下所示：
径向畸变：
切向畸变：
根据成像模型建立各个坐标系之间的转换关系，实现从世界坐标系到相机坐标系再到像素坐标系的投影过程建模。依据畸变模型对原始图像开展全幅畸变校正，后续实验均基于校正后的无畸变图像坐标完成，有效减小成像畸变对后续处理的影响。
完成初次标定和畸变参数求解后，首先对原始标定图像进行去畸变处理；随后根据公式(2)将去畸变后的图像映射至正射空间，在正射空间中重新提取角点坐标： 。
为保证后续相机标定仍满足原始成像模型下的投影关系，需要将正射空间中的角点坐标 反投影回去畸变图像平面。设反投影后的角点坐标为： ，则根据单应性映射关系有：
其中， 为单应性矩阵， 为非零尺度因子。
最终利用精细化后的角点坐标完成二次相机标定，提高角点定位精度与相机参数求解精度。
2.3 基于正射空间约束的光平面标定
在获得高精度相机内参与畸变参数的基础上，进一步开展光平面标定，建立激光平面在相机坐标系下的空间表达式。
2.3.1 激光条纹中心线提取
激光条纹中心线的准确提取是光平面标定的关键。经透视投影后，激光条纹截面的光强高斯分布会发生非线性形变，导致提取的条纹中心偏离真实几何中心。对此，本文使用正射欧式空间约束激光条纹提取。首先，构建正射欧式空间，利用单应矩阵 将图像平面变换至标定板所在的物理平面。将图像坐标系的像素点 统一映射至正射空间点 ：
然后采用最小二乘法对点集进行直线拟合，得到激光线的表达式： 。最后，将结果反投影回图像平面，得到修正的直线 。在正射空间中，激光条纹恢复在物理空间中应有的直线几何特性，同时对光强分布中透视投影引入的畸变进行校正，使得激光条纹中心的提取结果更加接近其物理真实位置。
2.3.2 交点坐标计算
为求解光平面参数，本文以标定板列角点线与激光线交点作为拟合特征点。对标定板图像提取角点坐标后，分别对每一列角点使用RANSAC方法拟合成角点线 ，使用2.3.1方法提取光条中心线 ；计算两线交点 的三维坐标，交点如图4所示。
交点三维坐标的计算需要在相机光心与特征点对应的角点线所确定的二维平面中来进行，平面如图5所示。在图中线 是标定板上的角点拟合成的直线，点 是相机的光心，光心 和角点线 共同确定了这个平面；点 、 、 都是提取到的角点，点 是激光线与角点线的交点， 、 、 。直线 、 、 是由相机光心和角点连接成的线段。
设相机光心为坐标原点 ，建立相机坐标系 。对于图像平面上任意一点 ，其在归一化图像平面上的坐标 可通过相机内参矩阵 与畸变校正后的像素坐标计算得出：
其中，内参矩阵 形式为：
连接光心 与图像点 ，得到该点在空间中的方向矢量。对于标定板上的角点 、 以及激光线与角点线的交点 ，其对应的单位方向矢量 ， ， 分别定义为：
（此处原文为 OCR 乱码，无法识别）
时，空间中任意特征点 三维坐标 可表示为其深度标量 与方向矢量的乘积：
， ， ， 四点共面。根据向量点积公式，可精确计算各光线矢量之间的夹角 ：
在 中，设 ， 两点间的真实物理距离为 （标定板参数）， ， 相对光心的深度分别为 ， 。根据余弦定理，建立度量约束方程：
仅通过两个角点计算角点深度不稳定，本文利用标定板上多个角点（如 ， ， …）构建超定方程组，利用最小二乘法优化求解出基准角点 的深度 及方向角 。确定基准角点的深度信息后，即可在该平面内解算交点 的深度。
在三角形 中，根据正弦定理，交点 与基准点深度 满足如下关系：
整理交点 的表达式结合公式(14)，即可得到点 在相机坐标系下的三维坐标：
2.3.3 平面参数拟合
通过上述推导将三维坐标计算转化为基于角度和已知长度的几何解算，减少了多次坐标变换带来的误差累积。经过多帧采集与计算后得到一组空间点云集合 ，重复以上特征点三维坐标求解过程，计算出足够的特征点三维坐标后使用最小二乘法拟合得到光平面在相机坐标系下的表达式为：
为进一步提升标定精度，建立筛选机制——留一法（Leave-One-Out）：在单帧图像内部，通过逐一剔除交点并计算剩余点的直线度残差（RMS）作为异常点评价指标，当剔除某交点后，整体RMS下降幅度超过预设阈值T时，则判定该点为异常点并予以剔除，达到优化参与光平面拟合的点云数据的目的。
3 实验结果与分析
3.1 相机标定精度验证
及正射校正，并基于正射空间中重新提取的角点坐标反投影回原视图，进行二次标定。除图像处理流程外，其余实验条件保持一致。对比结果如表1所示。
表1显示，张正友标定方法重投影误差分布为0.25-0.46pixel，平均0.3527pixel；本文方法误差稳定在0.039-0.041pixel，平均0.0401pixel，各组结果波动极小。表明在相同条件下，所提方法能有效抑制透视畸变的影响，提高相机标定的精度与稳定性。
3.2 光平面标定
在完成相机标定后，保持相机与激光投射器相对静止，将标定板置于视场内不同位置，保证激光线位于标定板表面，采集数据进行光平面标定。首先对激光线进行提取。由于长曝光利于角点识别、短曝光利于光条提取，本文采用多重曝光采集策略。在标定板位姿不变的条件下分别采集角点图像和激光条纹图像，如下图所示：左图用于提取标定板角点，右图用于提取光条中心线。
进行激光条纹中心提取时。设计对比实验，方法一直接对去畸变图像使用灰度重心方法提取激光条纹中心点，图中(a)(c)(e)(g)；方法二（本文方法）对去畸变图像先转到正射空间提取激光条纹中心点再映射回原图像，图中(b)(d)(f)(h)。其他条件相同。光条中心点提取结果对比如下图：
由图可知本文方法提取到的激光条纹中心点数量更多、分布更均匀连续，整体形变明显减弱。为了进一步定量分析两种方法在激光条纹中心提取中的性能差异，本文统计了不同方法所提取的有效中心点数量以及中心点到拟合直线距离的均方根误差（RMSE），结果如表2所示。
表2 光条中心提取效果对比
由表2可以看出，本文方法能够提取更多稳定有效的中心点，同时本文方法的RMSE更低，证明正射空间几何约束能够在一定程度上减弱倾斜视角条件下由透视投影引起的非线性拉伸现象，从而提高激光条纹中心提取的稳定性与准确性。
在交点坐标计算阶段，对单帧图像共线交点采用“留一法”进行异常点筛除。因阈值过小时，部分正常点容易被误剔除；阈值过大则难以有效筛除异常点。综合稳定性与拟合精度，本文选取 作为最终筛选阈值。例如，在第1、3、8帧图像中，原始交点坐标偏差分别到达 、 、 ；通过留一法校验，识别为异常点剔除后，再次计算单帧图像交点坐标的平均误差和均方根误差，均降低到 以下，异常点剔除前后误差对比如下图所示。
3.3 标定结果分析
为了验证本文方法的有效性，采用文献9、文献17和文献19方法以及本文方法使用同一组光条图像数据对光平面进行标定，其光平面方程如下表所示：
对比四组光平面参数，四种方法解算出的光平面参数在有效视场内的最大空间距离偏差仅为 ，在空间分布上高度一致，验证了本文标定模型的正确性。同时，本文方法在参数解算的残差控制上优于对比文献方法。四种方法的光平面在空间中分布如下图所示：
为验证本文方法的平面拟合精度，计算35个参与光平面拟合的特征点的平面拟合残差（RMS）作为评价指标，实验结果显示光平面拟合的平均残差仅为0.02166mm，最大残差控制在0.05116mm以内。残差分布呈现出良好的随机性，无明显的系统性偏差。其各点的残差分布如下图所示：
为验证本文方法在实际测量中的精度，使用本文方法对已知标定板制造精度的角点间距进行测量，将已知角点间距与本方法测量值的差值作为残差指标来评价测量精度。首先对未参与标定的另外30幅图像用本文标定结果的光平面方程对标定板角点实际距离 进行测量实验，测量结果统计如下表所示。由表可知，本文方法的测量值与真实值极为接近，平均绝对误差仅为 ，均方根误差控制在 ，具有较高准确性与稳定性。
为验证本文方法的测量精度使用本文方法与文献9、文献17和文献19方法设计对比实验：在相同的实验条件下，对5组数据分别使用四种方法进行独立标定再对标定板角点间距进行测量，将测量结果进行对比，得到的结果如下表所示：
由表可知，文献9、文献17和文献19方法的测量平均值分别为 、 和 ，本文方法的测量平均值为 ，较接近真实值 ，且数据波动较小。表明将原始数据变换至正射欧式空间中进行处理，有效抑制了透视畸变导致的误差以及误差的链式传递，实现了优于传统分步标定方法的测量精度。
3.4 重建验证
上述过程中标定好相机内外参数畸变参数以及光平面参数后，本文结合线激光光条中心提取结果，利用三角测量原理将图像像素坐标转换为相机坐标系下的三维空间点云，对重建效果进行分析。
3.4.1 基于标准平面的重建精度分析
为验证本文方法在标准平面重建中的准确性，选取高制造精度的标准平面进行扫描重建，并与文献9、文献17和文献19方法进行对比。四种方法的重建点云结果如图13所示。由图可知四种方法在平面的整体姿态上表现出较高的一致性。
为进一步评价不同方法在平面姿态重建方面的差异，重新设计标准平面重建实验。实验中将标定板垂直固定，并使相机水平安装；该安装条件下标准平面在ZOY投影视图中与Y轴的理论夹角为 。计算不同方法拟合平面在ZOY投影视图中与Y轴的夹角作为辅助评价指标。
结果显示本文方法角度为 ，文献9方法角度为 ，文献17方法角度为 ，文献19方法角度为 。如图14所示，本文结果更接近实际姿态。
除姿态角偏差外，进一步采用点云到拟合平面的距离误差对平面重建精度进行定量评价。表6详细列出了四种方法的拟合平面方程及均方根误差和最大误差。由表可知本文方法的均方根误差（RMSE）仅为0.088965mm，最大误差（Max Error）为0.310485mm。相比之下，文献9、文献17和文献19的RMSE分别达到了0.132346mm、0.095679mm和0.164979，最大误差分别达到了0.401234mm、0.348735mm和0.574290mm。证明本文方法在平面度控制上的优越性。
3.4.2 基于实体模型的重建分析
在完成标准平面重建精度验证后，为进一步分析本文方法在复杂表面测量场景中的适用性，选取具有明显起伏结构和局部细节特征的实体模型进行三维扫描实验。
图15展示了实体模型及不同方法的复杂表面重建结果。其中，图15(a)为待测实体模型实物图，图15(b)为本文方法获得的稠密点云结果。由图15(b)可见，本文方法能够较完整地恢复实体模型的整体轮廓，点云在头部、身体、手臂及星形装饰等区域分布较为连续，局部缺失和断裂现象较少，说明提高扫描密度后，重建点云能够反映复杂表面的几何结构。
为进一步比较不同方法在深度方向上的重建差异，图15(c)-图15(f)分别给出了四种方法对应的Z轴深度分布结果。颜色变化反映了点云在深度方向上的起伏关系，深度过渡越连续，说明重建表面对实际形貌的表达越稳定。对比可知，本文方法得到的深度分布整体更平滑，模型主体区域的深度层次较为清晰，边缘和局部细节区域仍能保持较好的连续性；相比之下，部分对比方法在局部区域出现点云缺失、深度跳变或边界断裂现象，说明其在复杂曲面和边缘区域的重建稳定性相对较弱。
4 结论
针对线激光光平面标定过程中存在的透视畸变影响明显、多环节误差累积严重等问题，本文提出了一种基于正射欧式空间约束的光平面标定方法。通过理论分析与实验验证，得到以下结论：
1、构建了基于单应性约束的全流程标定方法。不同于传统方法仅将单应性用于位姿估计，本文将其引入相机标定与光平面标定全过程。在相机标定阶段，通过单应性变换将角点映射至正射空间进行优化提取，有效减弱了倾斜视角下的角点偏移误差；在光平面标定阶段，将激光条纹特征转换至正射空间，降低了透视效应带来的非线性影响。
2、提高了系统的标定精度与测量稳定性。在平面拟合实验中，本文方法的光平面拟合平均均方根误差为0.02166mm；在实际测量实验中，相较于传统分步标定方法，本文方法的测量误差明显降低，验证了所提方法在三维测量中的有效性与准确性。
3、本文方法具有一定的适用条件。该方法依赖于平面标定板与图像之间稳定的单应性关系，适用于标定板平面特征清晰、角点或圆点中心能够可靠提取、激光条纹与标定板交线连续且成像质量较好的场景。当标定板存在明显遮挡、强反光、过曝、离焦，或激光条纹断裂严重时，正射空间中的特征重提取精度会下降，进而影响二次标定和光平面参数拟合结果。
4、本文方法仍存在一定局限性。首先，正射空间重构的精度受初次相机标定结果、单应矩阵估计精度以及标定板加工精度共同影响，当初始角点误差较大或标定图像姿态分布不足时，反投影后的角点仍可能引入残余误差。其次，异常点筛选阈值和RANSAC参数会影响光平面拟合的稳定性，不同噪声水平和不同成像条件下需要进行适当调整。
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